если налоговая РБ направляет запросы и уведомления, то она должна их направлять в Россию (мой адрес у них, конечно, есть) или по адресу квартиры в РБ?должна ли я что-то платить в России?
я сдаю квартиру одним и тем же жильцам уже несколько лет, имеют ли они возможность применить какие-либо рычаги для заявления прав на эту квартиру?

Если Вы постоянно проживаете в России, и тем более у налоговиков Республики Беларусь имеется Ваш российский адрес, они, по идее, должны направлять все запросы и налоговые уведомления по Вашему домашнему адресу.

Если Вы налоговый резидент РФ, то налоги от сдачи в аренду квартиры Вы должны уплачивать в России (если квартиросдача осуществляется физлицам). Если ИП или юридическому лицу, тогда они выступают налоговым агентом, и должны удержать налог на территории РБ. Вы же тогда должны продекларировать свой доход, и можете зачесть его в счет уплаты на территории РФ по международному договору об избежании двойного налогообложения.

Если же аренда физлицу, тогда декларируете в РФ и уплачиваете все налоги в нашей стране.

Что касается имущества, то как может лицо не собственник его получить??? Только если Вы его им подарите или продадите, или оставите в наследство. А по другому никак...